RSS

ประโยคเปิด

01 ก.ค.

    ประโยคเปิด

     ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปรไม่เป็นประพจน์และเมื่อแทนที่ตัวแปร  ด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์

     บทนิยาม ประโยคเปิดคือ ประโยคบอกเล่า ซึ่งประกอบด้วยตัวแปรหนึ่งตัวหรือมากกว่าโดยไม่เป็นประพจน์ แต่จะเป็นประพจน์ได้ เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกเอกภพสัมพัทธ์ตามที่กำหนดให้

 นั่นคือเมื่อแทนตัวแปรแล้วจะสามารถบอกค่าความจริง

 ประโยคเปิด เช่น

1. เขาเป็นนักว่ายน้ำทีมชาติไทย

2. x – 6 = 10

3. y < – 6

 ประโยคที่ไม่ใช่ประโยคเปิด เช่น

1. 10 เป็นคำตอบของสมการ x – 1 = 7

2. โลกหมุนรอบตัวเอง

3. จงหาค่า x จากสมการ 2x + 1 = 8

4. กรุณานั่งเงียบ ๆ

5. ห้ามสูบบุหรี่

 ข้อตกลง

1. นิยมแทนประพจน์ด้วย p,q,r,s,…

2. นิยมแทนประโยคเปิดด้วย P(x) , Q(x) ,… P(x,y) , Q(x, y), … โดย P(x) , Q(x) , … แทน ประโยคเปิดที่มี x เป็นตัวแปร โดย P(x, y) , Q(x, y) , … แทน ประโยคเปิดที่มี x และ yเป็นตัวแปร

3. ค่าความจริงที่เป็น ” จริง ” จะเขียนแทนด้วย ” T “

4. ค่าความจริงที่เป็น” เท็จ” จะเขียนแทนด้วย ” F “

 ตัวอย่างเช่น

• เขาเป็นคนดี ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “เขา”

• x > 3 ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “x”

การพิจารณาจากบทนิยามของสมมูลหรือนิเสธ

นอกจากการพิจารณาสมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณโดยวิธีเทียบกับประพจน์ที่ สมมูลกัน หรือนิเสธของประพจน์แล้ว ประโยคบางรูปแบบอาจจะต้องใช้พิจารณาจากบทนิยามของสมมูล หรือนิเสธ ดังนี้

 ” ประพจน์สองประพจน์จะสมมูลกันก็ต่อเมื่อมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี “

” ประพจน์สองประพจน์จะเป็นนิเสธกันก็ต่อเมื่อมีค่าความจริงตรงกันข้ามกรณีต่อกรณี “

 ต่อไปนี้เป็นรูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน และเป็นนิเสธกันที่ใช้วิธีพิจารณาดังกล่าว

 รูปแบบที่ 1 ~ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)] กล่าวคือ นิเสธของ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)

 พิสูจน์

 กรณีที่ 1 ถ้า ~ x[P(x)] เป็นจริง

จะได้ว่า x[P(x)] เป็นเท็จ

ดังนั้น มีสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์เมื่อนำไปแทนค่า x ในP(x)

แล้วได้ประพจน์ที่เป็นเท็จ

จะได้ว่า มีสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์เมื่อนำไปแทนค่าใน~P(x)

แล้วได้ประพจน์ที่เป็นจริง

นั่นคือ x[~P(x)] เป็นจริง

 กรณีที่ 2 ถ้า ~ x[P(x)] เป็นเท็จ

จะได้ว่า x[P(x)] เป็นจริง ดังนั้น มีสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์เมื่อนำไปแทนค่า x ใน P(x)แล้วได้ประพจน์ที่เป็นจริง  จะได้ว่า มีสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์เมื่อนำไปแทนค่า x ใน ~P(x) แล้วได้ประพจน์ที่เป็นเท็จ

นั่นคือ x[~P(x)] เป็นเท็จ

ดังนั้น ~ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)] และนิเสธของ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)]

 รูปแบบที่ 2 ~ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)]กล่าวคือ นิเสธของ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)]

 พิสูจน์

 กรณีที่ 1 สมมุติว่า ~ x[P(x)] เป็นจริง

จะได้ว่า x[P(x)] เป็นเท็จ ดังนั้น เมื่อแทนค่า x ใน p(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ จะได้ประพจน์ที่เป็นเท็จทั้งหมด นั่นคือ เมื่อแทนค่า x ใน ~p(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ จะได้ประพจน์ที่เป็นจริงทั้งหมด

 กรณีที่ 2 สมมุติว่า ~ x[P(x)] เป็นเท็จ

จะได้ x[P(x)] เป็นจริง ดังนั้น มีสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์เมื่อนำไปแทนค่า x ใน P(x)จะได้ประพจน์ที่เป็นจริง จะได้ว่า มีสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์เมื่อนำไปแทนค่า x ใน ~P(x) จะได้ประพจน์ที่เป็นเท็จ

ดังนั้น x[P(x)] เป็นเท็จ

นั่นคือ ~ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)]

กล่าวคือ นิเสธของ x[P(x)] คือ x[~P(x)]

ประพจน์บ่งปริมาณที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว

  ประพจน์บ่งปริมาณ แบ่งได้เป็น 2 แบบ ตามลักษณะของสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่นำมาแทนตัวแปร

แบบที่1 กำหนดให้สมาชิกทั้งหมดในเอกภพสัมพัทธ์มาแทนตัวแปร วลีแบบนี้ คือ ” สำหรับทุก ” หรือ ” สำหรับแต่ละ “
( for all or for each )
เรียกว่าเป็น ตัวบ่งปริมาณ ” ทั้งหมด ” ( Universal quantifier ) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ” “
ถ้า P(x) เป็นข้อความฟังก์ชั่น และ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ x สำหรับทุก x , P(x)
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ หรือ หรือ หรือ

แบบที่ 2 กำหนดให้สมาชิกบางตัว (หรืออย่างน้อยหนึ่งตัว) มาแทนตัวแปร วลีแบบนี้ คือ ” สำหรับบาง ” หรือ
” สำหรับอย่างน้อยหนึ่ง ” หรือ ” มีอย่างน้อยหนึ่ง ” ( for some or there exist ) เรียกว่าเป็นตัวบ่งปริมาณ ” มีอย่างน้อยหนึ่ง “
( existential quantifier )เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ” “
   ถ้า P(x) เป็นประโยคเปิด และ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ x สำหรับบาง x , P(x)
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ ์ หรือ หรือ หรือ
   นอกจากนี้ ยังมีตัวบ่งปริมาณ ” สำหรับบาง ” ที่เฉพาะเจาะจงลงไปอีก คือ วลี ” มีและมีอย่างมากเหียงหนึ่ง ” หรือ” มีเพียงหนึ่ง “( there is at most one or there exists aunique ) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ” “
เช่น มีจำนวนเต็ม x เพียงจำนวนเดียวเท่านั้น ซึ่ง x + 3 = 5 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
x,x + 3 = 5์

บทนิยาม ประพจน์บ่งปริมาณ คือ ประโยตเปิดที่ตัวแปรมีเอกภพสัมพัทธ์ และมีตัวบ่งปริมาณกำกับอยู่ด้วย

   ค่าความจริงของ

บทนิยาม  มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ในการแทนที่ x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวของเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(a) มีค่าความจริงเป็นจริง

บทนิยาม  มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ ในการแทนที่ x ด้วยสมาชิก b บางตัวของเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(b) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

   ค่าความจริงของ

บทนิยาม  มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a อย่างน้อยหนึ่งตัวของเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่ง P(a) มีค่าความจริงเป็นจริง

บทนิยาม  มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ ในการแทนที่ x ด้วยสมาชิก b ทุกตัวของเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(b) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

หมายเหตุ
1. สำหรับประโยคเปิด P(x) ใด ๆ ที่ตัวแปรมีเอกภพสัมพัทธ์ ไม่เป็นเซตว่าง
จะได้ว่า เป็นจริงเสมอ
2. ในกรณีที่ประพจน์บ่งปริมาณ มีตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์แฝงอยู่
    2.1) โดยทั่วไป จะใช้ตัวเชื่อม ” ถ้า……..แล้ว ” ในประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ” “
    2.2) จะใช้ตัวเชื่อม ” และ ” ในประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ” “

ประพจน์บ่งปริมาณที่มีสองตัวแปร

บทนิยาม เมื่อให้ P(x,y) เป็นประโยคเปิดที่มีตัวแปร x และ y
   1)  หมายถึง 
นั่นคือ หมายความว่า สำหรับทุก x สำหรับทุก y มีเงื่อนไข P(x,y)
   2) หมายถึง
นั่นคือ หมายความว่า สำหรับทุก x มีบาง y ที่มีเงื่อนไข P(x,y)
   3)  หมายถึง 
นั่นคือ หมายความว่า มีบาง x ที่สำหรับทุก y ที่มีเงื่อนไข P(x,y)
   4)  หมายถึง 
นั่นคือ หมายความว่า มีบาง x มีบาง y ที่มีเงื่อนไข P(x,y)
หมายเหตุ
ถ้า A และ B เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ x และ y ตามลำดับ เราอาจจะเขียน
เป็น
เป็น

         ค่าความจริงของประพจน์บ่งปริมาณที่มี 2 ตัวแปร

บทนิยาม จะได้ว่า และ มีค่าความจริงอันเดียวกัน

    ถ้าให้ A และ B เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ x และ y ตามลำดับ
มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ในการแทน x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวของ A
จะได้ มีค่าความจริงเป็นจริง
เนื่องจาก มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ในการแทน y ด้วยสมาชิก b ทุกตัวของ B
จะได้P(a,b) มีค่าความจริงเป็นจริง
ดังนั้น มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ในการแทน x และ y ด้วยสมาชิก a ทุกตัวของ A และ b ทุกตัวของ B
จะได้ P(a,b)มีค่าความจริงเป็นจริง
มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a บางตัวของ A ซึ่งทำให้ มีค่าความจริงเป็นเท็จ
เนื่องจาก มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก b บางตัวของ B จะได้ P(a,b)มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ดังนั้น มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a บางตัวของ A และ b บางตัวของ B
ซึ่งทำให้ P(a,b)มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ด้วยเหตุผลที่แสดงมาแล้วนี้ สามารถสรุปค่าความจริงของประพจน์บ่งปริมาณ ที่มี 2 ตัวแปร ดังนี้

ทฤษฎีบท ให้ P(x,y) เป็นประโยคเปิดที่มี A และ B เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของตัวแปร x และ y ตามลำดับ

  1) มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แต่ละสมาชิก a ของ A และแต่ละสมาชิก b ของ B
จะได้ P(a,b) มีค่าความจริงเป็นจริง
มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a ของ A อย่างน้อยหนึ่งตัว และมีสมาชิก b ของ B อย่างน้อยหนึ่งตัว ซึ่งทำให้ P(a,b) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
   2) มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แต่ละสมาชิก a ของ A จะต้องมีสมาชิก b ของ B อย่างน้อยหนึ่งตัว
ซึ่งทำให้ P(a,b) มีค่าความจริงเป็นจริง
มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a ของ A อย่างน้อยหนึ่งตัว เมื่อพิจารณาร่วมกับแต่ละสมาชิก b ของ B
จะได้ P(a,b) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
   3) มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a ของ A อย่างน้อยหนึ่งตัว เมื่อพิจารณาร่วมกับแต่ละสมาชิก b ของ B
จะได้ P(a,b) มีค่าความจริงเป็นจริง
มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แต่ละสมาชิก a ของ A จะต้องมีสมาชิก b ของ B อย่างน้อยหนึ่งตัว
ซึ่งทำให้ P(a,b) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
   4) มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก a ของ A อย่างน้อยหนึ่งตัว และมีสมาชิก b ของ B อย่างน้อยหนึ่งตัว
ซึ่งทำให้ P(a,b) มีค่าความจริงเป็นจริง
มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แต่ละสมาชิก a ของ A และแต่ละสมาชิก b ของ B
จะได้ P(a,b) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

อ้างอิง http://www.krudung.com

About these ads
 
ใส่ความเห็น

Posted by บน กรกฎาคม 1, 2011 in ไม่มีหมวดหมู่

 

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

 
ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: