RSS

สัจนิรันดร์และข้อขัดแย้ง

01 ก.ค.

สัจนิรันดร์และข้อขัดแย้ง

    สัจนิรันดร์ หมายถึง ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี (ไม่มีกรณีที่เป็นเท็จแม้แต่กรณีเดียว)ซึ่งเรามีวิธีการตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของประพจน์ด้วยวิธีการต่างๆ 4 วิธี ได้แก่
1. การตรวจสอบโดยใช้ตารางค่าความจริง

2. การตรวจสอบโดยวิธีหาข้อขัดแย้ง

3. การตรวจสอบโดยใช้ความสมเหตุสมผล

4. การตราจสอบโดยใช้หลักของความสมมูล

แต่ก่อนที่เราจะมาดูหลักการของแต่ละวิธีนะครับ เรามาดูกันว่า กฎสำคัญที่เราต้องทราบกันก่อนนะครับ

1. p -> p ^ q                 Law of addition

2. p ^ q -> p                 Law of simplification

3. p ^ ( p -> q ) -> q     Modus ponens

4. ~ q ^ ( p -> q ) -> ~p          Modus tollens

5. p -> q <-> ~ q -> ~p           Law of contraposition

6. ( p -> q ) ^ ( q -> r ) -> ( p -> r)   Law of syllogism

7. ~ ( p ^ q ) <-> ~ p v ~ q   
หรือ ~ ( p v q ) <-> ~ p ^ ~ q     De Morgan’s laws

8. ( p -> r ) ^ ( q -> r ) <-> ( p v q ) -> r                    Inference by cases

9. p v ( q v r ) <-> ( p v q ) v r 
หรือ  p ^ ( q ^ r ) <-> ( p ^ q ) ^ r    Associative laws

10 .p v q <-> q v p 
หรือ   p ^ q <-> q ^ p                       Commutative laws

11. p v ( q ^ r ) <-> ( p v q ) ^ ( p v r )  
หรือ  p ^ ( q v r ) <-> ( p ^ q ) v ( p ^ r ) 
Distributive laws

12. ~(~p) <-> p                              Double negation

13. ~p ^ ( p v q ) -> q                     Disjunction syllogism

14. (( p -> q ) ^ ~q ) -> ~p             Law of absurdity

15. ( p -> q ) -> (( p v r ) -> ( q v r ))             

16. ( p -> q ) -> (( p ^ r ) -> ( q ^ r ))

17. ( p -> q ) ^ ( p -> r ) <-> ( p -> ( q ^ r ))

18. p -> q <-> ~p v q   Equivalence form for implication

19. ~( p -> q ) <-> p ^ ~q         Negation for implication

20.  p v ~p                                  Law of excluded middle

21. [( p ^ q ) -> r } <-> { p -> ( q ^ r )]           

22.  ~ ( p ^ ~p )                       law of contradiction

23.  p v p <-> p

24.  p ^ p <-> p

นอกจากนั้น ยังมีสัจนิรันดร์บางรูปแบบที่สอดคล้องกับสมบัติของอินเตอร์เซกชันและยูเนียนของเซต ได้แก่

1. ~ ( p ^ q ) <-> ~ p v ~ q   
หรือ ~ ( p v q ) <-> ~ p ^ ~ q          De Morgan’s laws

2. p v ( q v r ) <-> ( p v q ) v r 
หรือ  p ^ ( q ^ r ) <-> ( p ^ q ) ^ r    Associative laws

3. p v q <-> q v p 
หรือ   p ^ q <-> q ^ p                       Commutative laws

4. p v ( q ^ r ) <-> ( p v q ) ^ ( p v r )  
หรือ  p ^ ( q v r ) <-> ( p ^ q ) v ( p ^ r ) 
Distributive laws

ส่วนกฎที่ใช้บ่อย ได้แก่

1. p ^ ( p -> q ) -> q

2. p -> q <-> ~q -> ~p

3. ( p -> q ) ^ ( q -> r ) -> ( p -> r )

4. ~p ^ ( p v q ) -> q

5. P -> q <-> ~p v q

เมื่อเรารู้กฎที่จำเป็นในการพิสูน์สัจนิรันดร์แล้ว เรามาดูว่าหลักการของแต่ละวิธีที่กล่าวไว้ข้างกัน กับการนำกฎต่างๆ มาใช้ จะช่วยให้เราพิสูจน์สัจนิรันดร์ได้อย่างไรบ้างนะครับ

1.         การตรวจสอบโดยใข้ตารางค่าความจริง

ตัวอย่างที่ 1 จงตรวจสอบว่า ~q -> ~{( p -> q ) ^ p} เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

วิธีทำ เริ่มด้วยการสร้างตารางค่าความจริงนะครับ

p q ~q p -> q ~{( p -> q ) ^ p} ~q -> ~{( p -> q ) ^ p}
T T F T F T
T F T F T T
F T F T T T
F F T T T T

เพราะฉะนั้น จากตารางค่าความจริง เราจึงสรุปได้ว่า

 ~q -> ~{( p -> q ) ^ p} มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี

ดังนั้น ~q -> ~{( p -> q ) ^ p} เป็นสัจนิรันดร์


2.     การตรวจสอบโดยวิธีหาข้อขัดแย้ง ในกรณีนี้ เราจะตรวจสอบว่า “ประพจน์นั้นๆ มีโอกาสเป็นเท็จหรือไม่” โดยการสมมติให้ประพจน์นั้นๆ เป็นเท็จ แล้วแสดงให้เห็นว่าข้อสมมตินั้นเป็นไปไม่ได้ ซึ่งมี  2 รูปแบบ คือ

 1. p v q

จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งคู่

2. p -> q

จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p มีค่าความจริงเป็นจริง และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ เท่านั้น

ตัวอย่างที่ 2  จงตรวจสอบว่า ( ~p -> ~q ) -> ( p -> q ) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

วิธีทำ        สมมติให้ ( ~p -> ~q ) -> ( p -> q ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

เนื่องจาก  ~p -> ~q ≡ T

และ p ≡ T

แสดงว่า q มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จก็ได้จะพบว่า ไม่มีประพจน์ใดขัดแย้งกัน

ดังนั้น ( ~p -> ~q ) -> ( p -> q ) ไม่เป็นสัจนิรันดร์

3. การตรวจสอบโดยใช้ความสมเหตุสมผล  การตรวจสอบโดยวิธีนี้ ใช้กับประพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ [ (p -> q) ^ p ] -> q หรือรูปแบบอื่นที่แบ่งประพจน์ออกเป็น 2 ส่วน คือ ส่วนที่เป็นเหตุ กับ ส่วนที่เป็นผล (ข้อสรุป) ซึ่งประพจน์เขียนอยู่ในรูป เหตุ -> ผล (ข้อสรุป) เหตุอาจจะมี 2-3 ข้อ หรือมากกว่าก็ได้ แต่ทุกข้อต้องเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อม ^ ในการตรวจสอบสัจนิรันดร์ ให้ตรวจสอบว่าการให้เหตุผลนั้น สมเหตุสมผลหรือไม่ ถ้าสมเหตุสมผล ประพจน์นั้นก็เป็นสัจนิรันดร์ ถ้าไม่สมเหตุสมผลจะไม่เป็นสัจนิรันดร์ ละในการตรวจสอบความสมเหตุสมผลนั้น จะต้องแยกออกเป็นข้อๆ

ตัวอย่างที่ 3 จงตรวจสอบว่า [((p -> q) ^ (p v r)) ^ ~r] -> q

วิธีทำ   แยกประพจน์ออกเป็น เหตุ และ ผล แต่ละข้อ ดังนี้

เหตุ ได้แก่        1. p -> q

                        2. p v r

                        3. ~r

ผล  คือ  q

จากเหตุข้อที่ 3 เราจะรู้ว่า r มีค่าความจริงเป็นเท็จ

แทนค่าความจริงของ r ลงในเหตุข้อที่ 2 จะทำให้ได้ค่า p ที่มีค่าความจริงเป็นจริง

แล้วจึงแทนค่า p ลงในเหตุข้อ 1 จะได้ค่า q ที่เป็นจริง

จึงสรุปได้ว่า การให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผล

ดังนั้น ประพจน์    [((p -> q) ^ (p v r)) ^ ~r] -> q   เป็นสัจนิรันดร์

4.การตรวจสอบโดยใช้หลักของความสมมูลซึ่งประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนำมาเชื่อมกันด้วย <-> จะได้ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น

p -> q ≡ ~p v q

p -> q ≡ ~q -> ~p

~( p ^ q) ≡ ~p v ~q

P ^ (q v r) ≡ (p ^ q) v (p ^ r)

 ตัวอย่างที่ 4   จงตรวจสอบว่า (p -> ~q) v (q -> ~p) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

วิธีทำ                      (p -> ~q) v (q -> ~p)

                             ≡ (~p v ~q) v (~q v ~p)

                             ≡ (~p v ~p) v (~q v ~q)

                             ≡ ~p v ~q

ดังนั้น (p -> ~q) v (q -> ~p) ไม่เป็นสัจนิรันดร์

อ้างอิง http://www.thaigoodview.com

 

 

 

About these ads
 
ใส่ความเห็น

Posted by บน กรกฎาคม 1, 2011 in ไม่มีหมวดหมู่

 

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

 
ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: