RSS

ที่เดิม

สับเซต
1. A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A ต้องอยู่ใน B ใช้สัญลักษณ์
AB = {x x  A  x  B}
= x[x  A  x  B]
2. A ไม่ เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกบางตัวของ A แต่ไม่อยู่ใน B ใช้สัญลักษณ์
AB = {x x  A  x B}
= x[x  A  x  B]
3. ถ้า n(A) = k แล้ว
จำนวนสับเซตของ A มี = 2k สับเซต
จำนวนสับเซตแท้ของ A มี = 2k -1 สับเซต
สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A B
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A B

A = {1, 2} B = {2, 3}
C = {1, 2, 3} D = {1, 2, 3, 4} A B, A C, A D
B A, B C, B D
C A, C B, C D
D A, D B, D C

1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง (A A)
2. เซตว่าง เป็นสับเซตของทุก ๆ เซต ( A)
3. ถ้า A แล้ว A =
4. ถ้า A B และ B C แล้ว A C
5. A = B ก็ต่อเมื่อ A B และ B A

เพาเวอร์เซต (Power Set)
1. เพาเวอร์เซต ของเเซต A คือสมาชิกทั้งหมดเป็นสับเซตของ A ใช้สัญลักษณ์
P(A) = {x x  A }
2. ถ้า A เป็นเซตจำกัด
ถ้า n(A) = k แล้ว
1. n[P(A)] = 2k
2. n[P(P(A))] =
3. จำนวนสมาชิกของ P(A) จะอยู่ในลำดับเรขาคณิตดังนี้
n(A) 0 1 2 3 4 5 6 ———-
n[P(A)] 1 2 4 8 16 32 64 ———-

ทฤษฎีเกี่ยวกับเพาเวอร์เซต
ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดใด ๆ
1. สมาชิกทุกตัวของเพาเวอร์เซต ต้องเป็นเซต
2.  P(A) และ  P(A) เสมอ
3. AP(A) เสมอ แต่ A ไม่จำเป็นต้องเป็นสับเซตของP(A)
4. เมื่อ AP(A) ดังนั้น P(A) P(P(A))
5. เพาเวอร์เซต จะไม่มีทางเป็นเซตว่างได้เลยนั่นคือ P(A) 
6. P() = {}
7. {A}P(A) เสมอ ดังนั้น {P(A)} P(P(A))
8. P(AB)=P(A) P(B)
9. ถ้า AB แล้ว P(A) P(B)

การกระทำของเซต(Operation of Set)
คือการนำเซตหลาย ๆ เซตมากระทำกันเพื่อให้เกิดเซตใหม่ขึ้นมา ซึ่งมีอยู่ 3 วิธีคือ
1. อินเตอร์เซคชัน(Intersection)
ถ้า A และ B เป็นเซตสองเซต อินเตอร์เซคชันของ A และ B หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นทั้งของ A และ B ใช้สัญลักษณ์ AB
AB = {xx  A และ x  B}
ตัวอย่าง A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 }
วิธีทำ AB = {2 , 3 }
สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังนี้
AB = {2 , 3
2. ยูเนียน (Union)
ถ้า A และ B เป็นเซตสองเซต ของยูเนียน A และ B หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นทั้งของ A และ B ใช้สัญลักษณ์ AB
AB = {xx  A หรือ x  B}
ตัวอย่าง A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 }
วิธีทำ AB = {1 , 2 , 3 ,4 }
สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังนี้
AB = {1 , 2 , 3 , 4 }
3. ผลต่างและคอมพลีเม้นต์(Difference and Complement)
ถ้า A และ B เป็นเซตสองเซต เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นทั้งของ A แต่ไม่เป็นสมาชิกของ B ใช้สัญลักษณ์ A – B
A – B = {xx  A แต่ x  B}
ตัวอย่าง A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 }
วิธีทำ A – B = {1 , 2 , 3 }
B – A = { 4 }
สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังนี้

A- B = {1 , 2 , 3 } และ B – A ={ 4 }
ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราจะหา U – A จะได้
U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
A = { 2 , 4 , 6 }
U – A = { 1 , 3 , 5 }
U – A = {xx  U แต่ x  A}
A’ หรือ Ac แทน U – A
ดังนั้น A’ = Ac {xx  A}

A’ = Ac {xx  A} และ A’ = { 1 , 3 , 5 }

การพิจารณาเกี่ยวกับเซตจะง่ายขึ้น ถ้าเราใช้แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ เข้ามาช่วย หลักการเขียนแผนภาพมีดังนี้
1. ใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์
2. ใช้วงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใด ๆ แทนเซตต่าง ๆ ที่เป็นสมาชิกของ
และเขียนภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เป็นเอกภพสัมพัทธ์

A เป็นสับเซตของ

เซต A และ B เป็นสับเซตของ โดยที่ A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน
เซต A และ B เป็นสับเซตของ โดยที่ A และ B มีสมาชิกบางตัวร่วมกัน

เซต A เป็นสับเซตของ B
เซต A = B

จำนวนสมาชิกของเซต หาได้จาก
1. n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)
2. n(ABC)= (A)+n(B)+n(C) – n(AB)- n(BC)- n(AC)+n(A B C)
ตัวอย่างที่ 1 ถ้า n(AB) มีสมาชิก 3 ตัว (AB) มีสมาชิก 5 ตัว A และ B มีสมาชิกเท่ากัน A-B
มีสมาชิก 1 ตัว
วิธ๊ทำ จาก n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)
แทนค่า 5 = n(A)+n(B)-3
8 = 2n(A) ; เนื่องจาก n(A) = n(B)
= n(A)
4 = n(A)

สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังนี้
A = {1,2,3,4}
B = {2,3,4,5}
AB = {1,2,3,4,5}
AB = {2,3,4}
A – B = {1}
B – A = {5}
ตัวอย่างที่ 2 ครอบครัวหนึ่งระหว่างที่ไปพักตากอากาศชายทะเลบางแสนมีฝนตก 13 วัน ถ้าฝนตก
ตอนเช้าตอนบ่าย อากาศแจ่มใส แต่ถ้าฝนตกตอนบ่าย ตอนเช้าอากาศแจ่มใส ถ้า
ระหว่างที่พักตากอากาศ อยู่ นั้นมีอากาศแจ่มใสตอนเช้า 11 วัน และตอนบ่ายแจ่มใส
12 วัน อยากทราบว่าครอบครัวนี้ไปพักตากอากาศกี่วัน
วิธีทำ กำหนด A แทนตอนเช้าอากาศแจ่มใส
B แทนตอนบ่ายอากาศแจ่มใส
x แทนอากาศแจ่มใสตลอดทั้งวัน
จาก n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)
13 = (11-x)+ (12-x)
13 = 23 –2x
2x = 23-13
x = = 5
ดังนั้นจำนวนวันที่ไปพักตากอากาศ 13+5 = 18 วัน

ตัวอย่างที่ 3 นักเรียนโรงเรียนมัธยมแห่งหนึ่งมีจำนวน 300 คน เลือกเข้าชุมนุมดังนี้
150 คน เลือกคอมพิวเตอร์
206 คน เลือกคณิตศาสตร์
80 คน เลือกภาษาอังกฤษ
74 คนเลือก คอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์
32 คนเลือก คอมพิวเตอร์และภาษาอังกฤษ
20 คนเลือกทั้ง 3 วิชา
จงหา จำนวนนักเรียนที่เลือกเรียนวิชาเดียว นักเรียนที่เลือกคณิตศาสตร์และภาษาอังกฤษแต่ไม่เลือกคอมพิวเตอร์
วิธีทำ กำหนด C แทน เลือกคอมพิวเตอร์ 150 คน
M แทนเลือก เลือกคณิตศาสตร์ 206 คน
E แทนเลือกภาษาอังกฤษ 80 คน
n(CM) แทน เลือก คอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์ 74 คน
n(CE) เลือก คอมพิวเตอร์และภาษาอังกฤษ 32 คน
n(CME) เลือกทั้ง 3 วิชา 20 คน
n(ME) = ?
จาก n(CME)= n(C)+n(M)+n(E) – n(CM)- n(CE)- n(ME)+n(C M E)
แทนค่า 300 = 150+206+80-74-32- n(ME)+20
n(ME) = 456-300-74-32
n(ME) = 50
สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังนี้

นักเรียนที่เลือกเรียน คณิตศาสตร์และภาษาอังกฤษแต่ไม่เลือกคอมพิวเตอร์
20+x = 50
x = 30
***นักเรียนที่เลือกเรียน เพียง1วิชา
82+18+64 =164 คน

 

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: